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近日《返朴》刊发的《量子力学需要虚数吗？》一文，激发了一些接洽。本文从时空对称性的角度来看量子力学是否需要虚数（复数）。谜底是降服的。

撰文 | 1/137， Estelle《返朴》最近刊登的《量子力学需要虚数吗？》（以下简称《虚数》）一文，关于虚数是否在量子力学中起到内容的作用这一陈腐问题的新发达[1， 2， 3] ，作念了解读。本文不筹谋就文中实数系量子力学表面自己置喙，而从另外的对称性的角度对复（虚）数在量子力学中的必要性作念一肤浅评述。人所共知，相对论和量子力学是当代物理学的两大基石（二者的和会则产生了量子场论），而对称性更是流通其中的主旋律。关于狭义相对论，洛伦兹群过甚群代数响应了表面的时空结构，何况在低速极限下，“退化”（削弱）为伽利略群过甚群代数。相应的对称性则条目物理表面在群变换下保捏不变。关于非相对论量子力学，上述对称性旨趣条目薛定谔方程应当在伽利略（群）变换下保捏不变。肤浅起见，让咱们接洽 1+1 维非相对论解放粒子，其哈密顿量是

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（存在一般外部势场的情形并不带来非鄙俗的效果），关于波函数ψ(x，t)，它所得志的薛定谔方程为：

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其中m是粒子的质料。咱们关爱薛定谔方程在（伽利略）时空变换下的性质是怎样的。接洽伽利略时空变换：两个惯性坐标系S和S’中，S’以速率V相关于S沿+x向畅通。设t = 0本领两个参考系的原点重合，波及的畅通口角相对论性的，则

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由伽利略变换可得时空坐标微分关系，

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咱们问：在伽利略变换下薛定谔方程的阵势不变，即

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这一双称性条目对波函数ψ(x， t)产生何种敛迹？最初，一个最肤浅的接收是令S′系的波函数ψ'和S的波函数ψ系得志纯实函数，且

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则不难发现，新的S’系的薛定谔方程弗成得志伽利略不变性。这个收尾很容易获得，就不在此赘述，而手脚后文运算的特例给出收尾。关联词，淌若波函数并不是实函数，而是复函数——毕竟，在量子力学中，对称变换下的不变性惟有求波函数的模不变——因此，在时空不变群的变换下，幸运飞艇app下载最一般的波函数变换阵势应取：

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其中Λ(x， t)是相因子（明显，当Λ = 0 时即是前文实函数的情形）。则笔据前边微分的变换(3)，有：

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以及，

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和

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保捏伽利略不变性条目ψ项和∂ψ/∂x项前的统统须为零，故有：

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这两个方程包含以下关系：

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由此不难降服相位Λ(x， t)：

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已忽略一个无关进攻的常数。从以上推导可以看出，对称性对时-空间导数加以很强的罢休。终末的收尾意味着，在时空对称性的敛迹下，复数着实势必是（非相对论）量子力学不可分割的一部分。特殊是，这个收尾存在一个肤浅的副家具：当取波函数为（一维）行波时，易得频率（或波长）的变换关系，从而对德布罗意波粒二象性，ℏ → 0 的经典极限有更深的相识，这在本科量子力学教训中是个极好的例子。这里“着实”的涵义是，咱们只肤浅论证了解放粒子的情况，未包括任何势场的情况，也未包括电磁相互作用的最小耦合（这时问题有些非鄙俗，机械动量和正则动量通过最小耦合相议论P = p - eA，A是矢势），相对论的情形更是未加以接洽，关联词作家信托，在基答允趣层面不会发生内容改动。更进一步，以上收尾，用群论的言语来说，这即是 Bargmann（中心推广）定理，质料参数手脚议论的中心荷插足量子伽利略代数中，使得经典伽利略代数在量子力学中通过投影默示 (Projective Representation) 杀青伽利略协变性（请参考联系群论讲义）。不外手脚简评，就不再赘述了。终末齐截下本短评要点：物理表面在时空变换下不变的对称性条目导致复数着实不可幸免地成为量子力学的一部分。

参考文件

[1] Ming-Cheng Chen et al， Ruling Out Real-Valued Standard Formalismof Quantum Theory， Phys. Rev. Lett. 128， 040403 (2022).[2]P. B. Hita et al， Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description， arXiv:2503.17307 (2025).[3] T. Hoffreumon， M. P. Woods， Quantum theory does not need complexnumbers， arXiv:2504.02808 (2025).注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能激发版权纠纷。

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